Любые измерения всегда производятся с какими-то погрешностями, связанными с ограниченной точностью измерительных приборов, неправильным выбором, и погрешностью метода измерений, физиологией экспериментатора, особенностями измеряемых объектов, изменением условий измерения и т.д. Поэтому в задачу измерения входит нахождение не только самой величины, но и погрешности измерения, т.е. интервала, в котором вероятнее всего находится истинное значение измеряемой величины. Например, при измерении отрезка времени t секундомером с ценой деления 0,2 с можно сказать, что истинное значение его находится в интервале от с до
с. Таким образом, измеряемая величина всегда содержит в себе некоторую погрешность
, где и X – соответственно истинное и измеренное значения исследуемой величины. Величина
называется абсолютной погрешностью (ошибкой) измерения, а выражение
, характеризующее точность измерения, называется относительной погрешностью.

Вполне естественно стремление экспериментатора произвести всякое измерение с наибольшей достижимой точностью, однако такой подход не всегда целесообразен. Чем точнее мы хотим измерить ту ил иную величину, тем сложнее приборы мы должны использовать, тем больше времени потребуют эти измерения. Поэтому точность окончательного результата должна соответствовать цели проводимого эксперимента. Теория погрешностей дает рекомендации, как следует вести измерения и как обрабатывать результаты, чтобы величина погрешности была минимальной.

Все возникающие при измерениях погрешности обычно разделяют на три типа – систематические, случайные и промахи, или грубые ошибки.

Систематические погрешности обусловлены ограниченной точностью изготовления приборов (приборные погрешности), недостатками выбранного метода измерений, неточностью расчетной формулы, неправильной установкой прибора и т.д. Таким образом, систематические погрешности вызываются факторами, действующими одинаковым образом при многократном повторении одних и тех же измерений. Величина этой погрешности систематически повторяется либо изменяется по определенному закону. Некоторые систематические ошибки могут быть исключены (на практике этого всегда легко добиться) путем изменения метода измерений, введение поправок к показаниям приборов, учета постоянного влияния внешних факторов.

Хотя систематическая (приборная) погрешность при повторных измерениях дает отклонение измеряемой величины от истинного значения в одну сторону, мы никогда не знаем в какую именно. Поэтому приборная погрешность записывается с двойным знаком

Случайные погрешности вызываются большим числом случайных причин (изменением температуры, давления, сотрясения здания и т.д.), действия которых на каждое измерение различно и не может быть заранее учтено. Случайные погрешности происходят также из-за несовершенства органов чувств экспериментатора. К случайным погрешностям относятся и погрешности обусловленные свойствами измеряемого объекта.

Исключить случайны погрешности отдельных измерений невозможно, но можно уменьшить влияние этих погрешностей на окончательный результат путем проведения многократных измерений. Если случайная погрешность окажется значительно меньше приборной (систематической), то нет смысла дальше уменьшать величину случайной погрешности за счет увеличения числа измерений. Если же случайная погрешность больше приборной, то число измерений следует увеличить, чтобы уменьшить значение случайной погрешности и сделать ее меньше или одного порядка с погрешностью прибора.

Промахи, или грубые ошибки, - это неправильные отсчеты по прибору, неправильная запись отсчета и т.п. Как правило, промахи, обусловленные указанными причинами хорошо заметны, так как соответствующие им отсчеты резко отличаются от других отсчетов. Промахи должны быть устранены путем контрольных измерений. Таким образом, ширину интервала в котором лежат истинные значения измеряемых величин, будут определять только случайные и систематические погрешности.

2 . Оценка систематической (приборной) погрешности

При прямых измерениях значение измеряемой величины отсчитывается непосредственно по шкале измерительного прибора. Ошибка в отсчете может достигать нескольких десятых долей деления шкалы. Обычно при таких измерениях величину систематической погрешности считают равной половине цены деления шкалы измерительного прибора. Например, при измерении штангенциркулем с ценой деления 0,05 мм величина приборной погрешности измерения принимают равной 0,025 мм.

Цифровые измерительные приборы дают значение измеряемых ими величин с погрешностью, равной значению одной единицы последнего разряда на шкале прибора. Так, если цифровой вольтметр показывает значение20,45 мВ, то абсолютная погрешность при измерении равна
мВ.

Систематические погрешности возникают и при использовании постоянных величин, определяемых из таблиц. В подобных случаях погрешность принимается равной половине последнего значащего разряда. Например, если в таблице значение плотности стали дается величиной, равной 7,9∙10 3 кг/м 3 , то абсолютная погрешность в этом случае равна
кг/м 3 .

Некоторые особенности в расчете приборных погрешностей электроизмерительных приборов будут рассмотрены ниже.

При определении систематической (приборной) погрешности косвенных измерений функциональной величины
используется формула

, (1)

где - приборные ошибки прямых измерений величины , - частные производные функции по переменной .

В качестве примера, получим формулу для расчета систематической погрешности при измерении объема цилиндра. Формула вычисления объема цилиндра имеет вид

.

Частные производные по переменным d и h будут равны

,
.

Таким образом, формула для определения абсолютной систематической погрешности при измерении объема цилиндра в соответствии с (2. ..) имеет следующий вид

,

где
и
приборные ошибки при измерении диаметра и высоты цилиндра

3. Оценка случайной погрешности.

Доверительный интервал и доверительная вероятность

Ля подавляющего большинства простых измерений достаточно хорошо выполняется так называемый нормальный закон случайных погрешностей (закон Гаусса) , выведенный из следующих эмпирических положений.

погрешности измерений могут принимать непрерывный ряд значений;

при большом числе измерений погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто,

чем больше величина случайной погрешности, тем меньше вероятность ее появления.

График нормального закона распределения Гаусса представлен на рис.1. Уравнение кривой имеет вид

, (2)

где
- функция распределения случайных ошибок (погрешностей), характеризующая вероятность появления ошибки
, σ – средняя квадратичная ошибка.

Величина σ не является случайной величиной и характеризует процесс измерений. Если условия измерений не изменяются, то σ остается постоянной величиной. Квадрат этой величины называют дисперсией измерений. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс отдельных значений и тем выше точность измерений.

Точное значение средней квадратичной ошибки σ, как и истинное значение измеряемой величины, неизвестно. Существует так называемая статистическая оценка этого параметра, в соответствии с которой средняя квадратичная ошибка равняется средней квадратичной ошибке среднего арифметического . Величина которой определяется по формуле

, (3)

где - результат i -го измерения; - среднее арифметическое полученных значений; n – число измерений.

Чем больше число измерений, тем меньше и тем больше оно приближается к σ. Если истинное значение измеряемой величины μ, ее среднее арифметическое значение, полученное в результате измерений , а случайная абсолютная погрешность , то результат измерений запишется в виде
.

Интервал значений от
до
, в который попадает истинное значение измеряемой величины μ, называется доверительным интервалом. Поскольку является случайной величиной, то истинное значение попадает в доверительный интервал с вероятностью α, которая называется доверительной вероятностью, или надежностью измерений. Эта величина численно равна площади заштрихованной криволинейной трапеции. (см. рис.)

Все это справедливо для достаточно большого числа измерений, когда близка к σ. Для отыскания доверительного интервала и доверительной вероятности при небольшом числе измерений, с которым мы имеем дело в ходе выполнения лабораторных работ, используется распределение вероятностей Стьюдента. Это распределение вероятностей случайной величины , называемой коэффициентом Стьюдента , дает значение доверительного интервала в долях средней квадратичной ошибки среднего арифметического .

. (4)

Распределение вероятностей этой величины не зависит от σ 2 , а существенно зависит от числа опытов n . С увеличением числа опытов n распределение Стьюдента стремится к распределению Гаусса.

Функция распределения табулирована (табл.1). Значение коэффициента Стьюдента находится на пересечении строки, соответствующей числу измерений n , и столбца, соответствующего доверительной вероятности α

Таблица 1.

Пользуясь данными таблицы, можно:

определить доверительный интервал, задаваясь определенной вероятностью;

выбрать доверительный интервал и определить доверительную вероятность.

При косвенных измерениях среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического значения функции вычисляют по формуле

. (5)

Доверительный интервал и доверительная вероятность определяются так же, как и в случае прямых измерений.

Оценка суммарной погрешности измерений. Запись окончательного результата.

Суммарную погрешность результата измерений величины Х будем определять как среднее квадратичное значение систематической и случайной погрешностей

, (6)

где δх – приборная погрешность, Δх – случайная погрешность.

В качестве Х может быть как непосредственно, так и косвенно измеряемая величина.

, α=…, Е=… (7)

Следует иметь в виду, что сами формулы теории ошибок справедливы для большого число измерений. Поэтому значение случайной, а следовательно, и суммарной погрешности определяется при малом n с большой ошибкой. При вычислении Δх при числе измерений
рекомендуется ограничиваться одной значащей цифрой, если она больше 3 и двумя, если первая значащая цифра меньше 3. Например, если Δх = 0,042, то отбрасываем 2 и пишем Δх =0,04, а если Δх =0,123, то пишем Δх =0,12.

Число разрядов результата и суммарной погрешности должно быть одинаковым. Поэтому среднее арифметическое погрешности должно быть одинаковым. Поэтому среднее арифметическое вычисляется вначале на один разряд больше, чем измерение, а при записи результата его значение уточняется до числа разрядов суммарной ошибки.

4. Методика расчета погрешностей измерений.

Погрешности прямых измерений

При обработке результатов прямых измерений рекомендуется принять следующий порядок выполнение операций.

. (8)

.

.

Определяется суммарная погрешность

Оценивается относительная погрешность результата измерений

.

Записывается окончательный результат в виде

, с α=… Е=…%.

5. Погрешность косвенных измерений

При оценке истинного значения косвенно измеряемой величины , являющейся функцией других независимых величин
, можно использовать два способа.

Первый способ используется, если величина y определяется при различных условиях опыта. В этом случае для каждого из значений вычисляется
, а затем определяется среднее арифметическое из всех значений y i

. (9)

Систематическая (приборная) погрешность находится на основании известных приборных погрешностей всех измерений по формуле. Случайная погрешность в этом случае определяется как ошибка прямого измерения.

Второй способ применяется, если данная функция y определяется несколько раз при одних и тех же измерений. В этом случае величина рассчитывается по средним значениям . В нашем лабораторном практикуме чаще используется второй способ определения косвенно измеряемой величины y . Систематическая (приборная) погрешность, как и при первом способе, находится на основании известных приборных погрешностей всех измерений по формуле

Для нахождения случайной погрешности косвенного измерения вначале рассчитываются средние квадратичные ошибки среднего арифметического отдельных измерений. Затем находится средняя квадратичная ошибка величины y . Задание доверительной вероятности α, нахождение коэффициента Стьюдента , определение случайной и суммарной ошибок осуществляются так же, как и в случае прямых измерений. Аналогичным образом представляется результат всех расчетов в виде

, с α=… Е=…%.

6. Пример оформления лабораторной работы

Лабораторная работа №1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕМА ЦИЛИНДРА

Принадлежности: штангенциркуль с ценой деления 0,05 мм, микрометр с ценой деления 0,01 мм, цилиндрическое тело.

Цель работы: ознакомление с простейшими физическими измерениями, определение объема цилиндра, расчет погрешностей прямых и косвенных измерений.

Порядок выполнения работы

Провести не менее 5 раз измерения штангенциркулем диаметра цилиндра, а микрометром его высоту.

Расчетная формула для вычисления объема цилиндра

где d – диаметр цилиндра; h – высота.

Результаты измерений

Таблица 2.

;

Абсолютная погрешность

;
.

5. Относительная погрешность, или точность измерений

; Е = 0,5%.

6. Запись окончательного результата

Окончательный результат для исследуемой величины записывается в виде

, Е = 0,5%.

Примечание. В окончательной записи число разрядов результата и абсолютной погрешности должно быть одинаковым.

6. Графическое представление результатов измерений

Результаты физических измерений очень часто представляют в графической форме. Графики обладают рядом важных преимуществ и ценных свойств:

а) дают возможность определить вид функциональной зависимости и пределы, в которых она справедлива;

б) позволяют наглядно проводить сравнение экспериментальных данных с теоретической кривой;

в) при построении графика сглаживают скачки в ходе функции, возникающие за счет случайных ошибок;

г) дают возможность определять некоторые величины или проводить графическое дифференцирование, интегрирование, решение уравнения и др.

Рафики, как правило, выполняются на специальной бумаге (миллиметровой, логарифмической, полулогарифмической). Принято по горизонтальной оси откладывать независимую переменную, т.е. величину, значение которой задает сам экспериментатор, а по вертикальной оси – ту величину, которую он при этом определяет. Следует иметь в виду, что пересечение координатных осей не обязательно должно совпадать с нулевыми значениями x и у. При выборе начала координат следует руководствоваться тем, чтобы полностью использовалась вся площадь чертежа (рис.2.).

На координатах осях графика указываются не только названия или символы величин, но и единицы их измерения. Масштаб по осям координат следует выбирать так, чтобы измеряемые точки располагались по всей площади листа. При этом масштаб должен быть простым, чтобы при нанесении точек на график не производить арифметических подсчетов в уме.

Экспериментальные точки на графике должны изображаться точно и ясно. Точки, полученные при различных условиях эксперимента (например, при нагревании и охлаждении), полезно наносить разными цветами или разными значками. Если известна погрешность эксперимента, то вместо точки лучше изображать крест или прямоугольник, размеры которого по осям соответствуют этой погрешности. Не рекомендуется соединять экспериментальные точки между собой ломаной линией. Кривую на графике следует проводить плавно, следя за тем, чтобы экспериментальные точки располагались как выше, так и ниже кривой, как показано на рис.3.

При построении графиков помимо системы координат с равномерным масштабом применяют так называемые функциональные масштабы. Подобрав подходящие функции x и y, можно на графике получить более простую линию, чем при обычном построении. Часто это бывает нужно при подборе к данному графику формулы для определения его параметров. Функциональные масштабы применяют также в тех случаях, когда на графике нужно растянуть или сократить какой-либо участок кривой. Чаще всего из функциональных масштабов используют логарифмический масштаб (рис.4).

Документ

От конкретных условий, требований и возможностей оценки погрешности результатов измерений . Согласно общим положениям информационной теории...

Погрешности измерений

Документ

В.И.Ивероновой. М., Наука, 1967. 4. П.В.Новицкий, И.А.Зограф. Оценка погрешностей результатов измерений . Л., Энергоатомиздат, 1991. 5. Лабораторные работы по...

Методические указания по определению погрешностей при измерениях в лабораторном практикуме по физике

Методические указания

... измерения искомой вели­чины в обязательном порядке входит оценка погрешности полу­ченного результата . Без такой оценки результат ... значение абсолютной погрешности и сам результат измерений . Как правило, точность оценки погрешности оказывается очень...

№ измерения

Расчет погрешностей при прямых и косвенных измерениях

Под измерением понимают сравнение измеряемой величины с другой величиной, принятой за единицу измерения . Измерения выполняются опытным путем с помощью специальных технических средств.

Прямыми измерениями называются измерения, результат которых получается непосредственно из опытных данных (например, измерение длины линейкой, времени – секундомером, температуры – термометром). Косвенными измерениями называются измерения, при которых искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, значения которых получают в процессе прямых измерений (например, определение скорости по пройденному пути и времени https://pandia.ru/text/78/464/images/image002_23.png" width="65" height="21 src=">).

Всякое измерение, как бы оно тщательно не было выполнено, обязательно сопровождается погрешностью (ошибкой) – отклонением результата измерений от истинного значения измеряемой величины.

Систематические погрешности – это погрешности, величина которых одинакова во всех измерениях, проводящихся одним и тем же методом с помощью одних и тех же измерительных приборов, в одних и тех же условиях. Систематические погрешности происходят:

В результате несовершенства приборов, используемых при измерениях (например, стрелка амперметра может быть отклонена от нулевого деления в отсутствие тока; у коромысла весов могут быть неравные плечи и др.);

В результате недостаточно полной разработки теории метода измерений, т. е. метод измерений содержит в себе источник ошибок (например, возникает ошибка, когда в калориметрических работах не учитывается потеря тепла в окружающую среду или когда взвешивание на аналитических весах производится без учета выталкивающей силы воздуха);

В результате того, что не учитывается изменение условий опыта (например, при долговременном прохождении тока по цепи в результате теплового действия тока меняются электрические параметры цепи).

Систематические погрешности можно исключить, если изучить особенности приборов, полнее разработать теорию опыта и на основе этого вносить поправки в результаты измерений.

Случайные погрешности – это погрешности, величина которых различна даже для измерений, выполненных одинаковым образом. Причины их кроются как в несовершенстве наших органов чувств, так и во многих других обстоятельствах, сопровождающих измерения, и которые нельзя учесть заранее (случайные ошибки возникают, например, если равенство освещенностей полей фотометра устанавливается на глаз; если момент максимального отклонения математического маятника определяется на глаз; при нахождении момента звукового резонанса на слух; при взвешивании на аналитических весах, если колебания пола и стен передаются весам и т. д.).

Случайных погрешностей избежать нельзя. Их возникновение проявляется в том, что при повторении измерений одной и той же величины с одинаковой тщательностью получаются числовые результаты, отличающиеся друг от друга. Поэтому, если при повторении измерений получались одинаковые значения, то это указывает не на отсутствие случайных погрешностей, а на недостаточную чувствительность метода измерений.

Случайные погрешности изменяют результат как в одну, так и в другую сторону от истинного значения, поэтому, чтобы уменьшить влияние случайных ошибок на результат измерений, обычно многократно повторяют измерения и берут среднее арифметическое всех результатов измерений.

Заведомо неверные результаты - промахи возникают вследствие нарушения основных условий измерения, в результате невнимательности или небрежности экспериментатора. Например, при плохом освещении вместо “3” записывают “8”; из-за того, что экспериментатора отвлекают, он может сбиться при подсчете количества колебаний маятника; из-за небрежности или невнимательности он может перепутать массы грузов при определении жесткости пружины и т. д. Внешним признаком промаха является резкое отличие результата по величине от результатов остальных измерений. При обнаружении промаха результат измерения следует сразу отбросить, а само измерение повторить. Выявлению промахов способствует также сравнение результатов измерений, полученных разными экспериментаторами.

Измерить физическую величину это значит найти доверительный интервал , в котором лежит ее истинное значение https://pandia.ru/text/78/464/images/image005_14.png" width="16 height=21" height="21">..png" width="21" height="17 src=">.png" width="31" height="21 src="> случаев истинное значение измеряемой величины попадет в доверительный интервал. Величина выражается или в долях единицы, или в процентах. При большинстве измерений ограничиваются доверительной вероятностью 0,9 или 0,95. Иногда, когда требуется чрезвычайно высокая степень надежности, задают доверительную вероятность 0,999. Наряду с доверительной вероятностью часто пользуются уровнем значимости , который задает вероятность того, истинное значение не попадает в доверительный интервал. Результат измерения представляют в виде

где https://pandia.ru/text/78/464/images/image012_8.png" width="23" height="19"> – абсолютная погрешность. Таким образом, границы интервала , https://pandia.ru/text/78/464/images/image005_14.png" width="16" height="21"> лежит в пределах этого интервала.

Для того чтобы найти и , выполняют серию однократных измерений. Рассмотрим конкретный пример..png" width="71" height="23 src=">; ; https://pandia.ru/text/78/464/images/image019_5.png" width="72" height="23">.png" width="72" height="24">. Значения могут и повторяться, как значения и https://pandia.ru/text/78/464/images/image024_4.png" width="48 height=15" height="15">.png" width="52" height="21">. Соответственно уровень значимости .

Среднее значение измеряемой величины

Измерительный прибор также вносит свой вклад в погрешность измерений. Эта погрешность обусловлена конструкцией прибора (трением в оси стрелочного прибора, округлением, производимым цифровым или дискретным стрелочным прибором и пр.). По своей природе это систематическая ошибка, но ни величина, ни знак ее для данного конкретного прибора неизвестны. Приборную погрешность оценивают в процессе испытаний большой серии однотипных приборов.

Нормированный ряд классов точности измерительных приборов включает такие значения: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0. Класс точности прибора равен выраженной в процентах относительной ошибке прибора по отношению к полному диапазону шкалы. Паспортная погрешность прибора

Лекция №8

Обработка результатов измерений

Прямые однократные и многократные измерения.

1. Прямые однократные измерения .

В общем случае задача оценки погрешности полученного результата обычно осуществляется на основе сведений о пределе допускаемой основной погрешности средства измерения (по нормативно-технической документации на используемые средства измерений) и известным значениям дополнительных погрешностей от воздействия влияющих величин. Максимальное значение суммарной погрешности результата измерения (без учета знака) можно найти суммированием составляющих по абсолютной величине:

Более реальную оценку погрешности можно получить статистическим сложением составляющих погрешности:

где - граница i-й неисключенной составляющей систематической погрешности; k - коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью (при Р =0,95, коэффициент k =1,11); m - число не исключённых составляющих.

Результат измерения записывается по первой форме записи результатов:

где - результат однократного измерения; - суммарная погрешность результата измерений; Р - доверительная вероятность (при Р =0,95 может не указываться).

При проведении измерений в нормальных условиях можно считать

2. Прямые многократные измерения.

Точно оценить действительное значение измеряемой величины можно лишь путем ее многократных измерений и соответствующей обработки их результатов. Правильно обработать полученные результаты наблюдений – значит получить наиболее точную оценку действительного значения измеряемой величины и доверительного интервала, в котором находится ее истинное значение.

В процессе обработки результатов наблюдений необходимо последовательно решить следующие основные задачи:

Определить точечные и интегральные оценки закона распределения результатов измерений по формулам:

где D(x) – точечная оценка дисперсии;

Исключить «промахи» (по одному из критериев);

Устранить систематические погрешности измерений;

Определить доверительные границы не исключённого остатка систематической составляющей, случайной составляющей и общей погрешности результата измерения;

Записать результат измерения.

Оценивание погрешности косвенных измерений. Основные принципы и этапы расчетов. ГОСТы на обработку результатов.

Погрешности косвенных измерений

Оценка погрешностей, возникающих при косвенных измерениях, основывается на следующих предположениях:

1. Относительные погрешности величин, полученных прямыми измерениями и участвующих в расчете искомой величины, должны быть малы по сравнению с единицей (на практике они не должны превышать 10%).

2. Для погрешностей всех величин, участвующих в расчете, принята одна и та же доверительная вероятность. Эту же доверительную вероятность будет иметь и погрешность искомой величины.

3. Наиболее вероятное значение искомой величины получается, если для ее расчета используются наиболее вероятные значения исходных величин, т.е. их средние арифметические значения.

Погрешность в случае одной исходной величины.

Абсолютная погрешность. Пусть искомая величина y , измеряемая косвенно, зависит только от одной величины a , полученной прямым измерением. Границы интервала, в котором с заданной вероятностью лежит величина a , определяются средним арифметическим значением и полной абсолютной погрешностью a величины a . Это значит, что значение a может лежать внутри интервала с границами ± a .

При косвенном измерении для величины y (a ) такие границы будут определяться ее наиболее вероятным значением = y () и погрешностью y , т.е. значения y лежат внутри интервала с границами ± y . Верхней границей для y (при монотонном возрастании) будет значение, соответствующее верхней границе a , т.е. значение + y = y ( + а ) . Таким образом, абсолютная погрешность y величины y имеет вид приращения функции y(a) , вызванного приращением ее аргумента a на величину a его абсолютной погрешности. Следовательно, можно воспользоваться правилами дифференциального исчисления, согласно которому при малых значениях a приращение y можно приближенно выразить в виде

Здесь - производная по a функции y(a) при a = .

Таким образом, абсолютная погрешность окончательного результата может быть вычислена с помощью формулы (1), причем доверительная вероятность соответствует той доверительной вероятности, которую имеет a .

Относительная погрешность. Чтобы найти относительную погрешность значения y , поделим (1) на y и примем во внимание, что

представляет собой производную по a натурального логарифма y . В результате получится

Если в это выражение подставить a = и y = , то его значение и будет относительной погрешностью величины y .

Для обработки результатов измерений используется ГОСТ 8.207-76 «ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений».

8.3. Результат измерения и оценка его среднего квадратического отклонения:

1. Способы обнаружения грубых погрешностей должны быть указаны в методике выполнения измерений. Если результаты наблюдений можно считать принадлежащими к нормальному распределению, грубые погрешности исключают.

2. За результат измерения принимают среднее арифметическое результатов наблюдений, в которые предварительно введены поправки для исключения систематических погрешностей.

3. Среднее квадратическое отклонение S результата наблюдения оценивают согласно НТД.

4. Среднее квадратическое отклонение результата измерения оценивают по формуле

,

где х i - i -й результат наблюдения;

Результат измерения (среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений);

n - число результатов наблюдений;

Оценка среднего квадратического отклонения результата измерения.

8.4. Доверительные границы случайной погрешности результата измерения:

1. Доверительные границы случайной погрешности результата измерения в соответствии с настоящим стандартом устанавливают для результатов наблюдений, принадлежащих нормальному распределению. Если это условие не выполняется, методы вычисления доверительных границ случайной погрешности должны быть указаны в методике выполнения конкретных измерений.

1.1. При числе результатов наблюдений n >50 для проверки принадлежности их к нормальному распределению по НТД предпочтительным является один из критериев: χ 2 Пирсона или ω 2 Мизеса - Смирнова.

Основные законы Динамики. Законы Ньютона - первый, второй, третий. Принцип относительности Галилея. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести. Силы упругости. Вес. Силы трения - покоя, скольжения, качения + трение в жидкостях и газах.

Кинематика. Основные понятия. Равномерное прямолинейное движение. Равноускоренное движение. Равномерное движение по окружности. Система отсчёта. Траектория, перемещение, путь, уравнение движения, скорость, ускорение, связь линейной и угловой скорости.

Простые механизмы. Рычаг (рычаг первого рода и рычаг второго рода). Блок (неподвижный блок и подвижный блок). Наклонная плоскость. Гидравлический пресс. Золотое правило механики

Законы сохранения в механике. Механическая работа, мощность, энергия, закон сохранения импульса, закон сохранения энергии, равновесие твердых тел

Движение по окружности. Уравнение движения по окружности. Угловая скорость. Нормальное = центростремительное ускорение. Период, частота обращения (вращения). Связь линейной и угловой скорости

Механические колебания. Свободные и вынужденные колебания. Гармонические колебания. Упругие колебания. Математический маятник. Превращения энергии при гармонических колебаниях

Механические волны. Скорость и длина волны. Уравнение бегущей волны. Волновые явления (дифракция. интерференция...)

Гидромеханика и аэромеханика. Давление, гидростатическое давление. Закон Паскаля. Основное уравнение гидростатики. Сообщающиеся сосуды. Закон Архимеда. Условия плавания тел. Течение жидкости. Закон Бернулли. Формула Торричели

Молекулярная физика. Основные положения МКТ. Основные понятия и формулы. Свойства идеального газа. Основное уравнение МКТ. Температура. Уравнение состояния идеального газа. Уравнение Менделеева-Клайперона. Газовые законы - изотерма, изобара, изохора

Волновая оптика. Корпускулярно-волновая теория света. Волновые свойства света. Дисперсия света. Интерференция света. Принцип Гюйгенса-Френеля. Дифракция света. Поляризация света

Термодинамика. Внутренняя энергия. Работа. Количество теплоты. Тепловые явления. Первый закон термодинамики. Применение первого закона термодинамики к различным процессам. Уравнение теплового балланса. Второй закон термодинамики. Тепловые двигатели

Электростатика. Основные понятия. Электрический заряд. Закон сохранения электрического заряда. Закон Кулона. Принцип суперпозиции. Теория близкодействия. Потенциал электрического поля. Конденсатор.

Постоянный электрический ток. Закон Ома для участка цепи. Работа и мощность постоянного тока. Закон Джоуля-Ленца. Закон Ома для полной цепи. Закон электролиза Фарадея. Электрические цепи - последовательное и параллельное соединение. Правила Кирхгофа.

Электромагнитные колебания. Свободные и вынужденные электромагнитные колебания. Колебательный контур. Переменный электрический ток. Конденсатор в цепи переменного тока. Катушка индуктивности ("соленоид") в цепи переменного тока.

Элементы теории относительности. Постулаты теории относительности. Относительность одновременности, расстояний, промежутков времени. Релятивистский закон сложения скоростей. Зависимость массы от скорости. Основной закон релятивистский динамики...

Вы сейчас здесь: Погрешности прямых и косвенных измерений. Абсолютная, относительная погрешность. Систематические и случайные погрешности. Среднее квадратическое отклонение (ошибка). Таблица определения погрешностей косвенных измерений различных функций.

Если искомая физическая величина не может быть измерена непосредственно прибором, а посредством формулы выражается через измеряемые величины, то такие измерения называются косвенными .

Как и при прямых измерениях можно вычислять среднюю абсолютную (среднюю арифметическую) ошибку или среднюю квадратичную ошибку косвенных измерений.

Общие правила вычисления ошибок для обоих случаев выводятся с помощью дифференциального исчисления.

Пусть физическая величина j(x , y, z, ... ) является функцией ряда независимых аргументов x, y, z, ... , каждый из которых может быть определен экспериментально. Путем прямых измерений определяются величины и оцениваются их средние абсолютные погрешности или средние квадратичные погрешности .

Средняя абсолютная погрешность косвенных измерений физической величины j вычисляется по формуле

где - частные производные от φ по x, y, z, вычисленные для средних значений соответствующих аргументов.

Так как в формуле использованы абсолютные величины всех членов суммы, то выражение для оценивает максимальную погрешность измерения функции при заданных максимальных ошибках независимых переменных.

Средняя квадратичная погрешность косвенных измерений физической величины j

Относительная максимальная погрешность косвенных измерений физической величины j

где и т. д.

Аналогично можно записать относительную среднюю квадратичную погрешность косвенных измерений j

Если формула представляет выражение удобное для логарифмирования (то есть произведение, дробь, степень), то удобнее вначале вычислять относительную погрешность . Для этого (в случае средней абсолютной погрешности) надо проделать следующее.

1. Прологарифмировать выражение для косвенного измерения физической величины.

2. Продифференцировать его.

3. Объединить все члены с одинаковым дифференциалом и вынести его за скобки.

4. Взять выражение перед различными дифференциалами по модулю.

5. Формально заменить значки дифференциалов на значки абсолютной погрешности D.

Затем, зная e, можно вычислить абсолютную погрешность Dj по формуле

Пример 1. Вывод формулы для вычисления максимальной относительной погрешности косвенных измерений объёма цилиндра.

Выражение для косвенного измерения физической величины (исходная формула)

Величина диаметра D и высоты цилиндра h измеряются непосредственно приборами с погрешностями прямых измерений соответственноD D и Dh.

Прологарифмируем исходную формулу и получим

Продифференцируем полученное уравнение

Заменив значки дифференциалов на значки абсолютной погрешности D, окончательно получим формулу для расчёта максимальной относительной погрешности косвенных измерений объёма цилиндра